📐 Twierdzenie Pitagorasa
Trzy dowody twierdzenia Pitagorasa. Zacznij od rozcinania kwadratów zbudowanych bezpośrednio na bokach trójkąta.
1. Kwadraty na bokach trójkąta — dowód przez rozcinanie
Dokładnie jak w klasycznym dowodzie Perigala: na każdym boku niebieskiego trójkąta stoi kwadrat. Większy kwadrat na przyprostokątnej przecinamy na cztery części. Razem z mniejszym czerwonym kwadratem P₁ wypełnią dokładnie duży kwadrat P₃ na przeciwprostokątnej — bez obracania i bez zmieniania kształtów.
9 + 16 = 25
Widzimy niebieski trójkąt prostokątny i kwadraty na jego trzech bokach.
Dlaczego ten dowód działa? Fragmenty nie zmieniają kształtu ani pola. Cztery żółte części mają łącznie pole b², czerwony kwadrat ma pole a², a po przesunięciu wszystkie pięć części szczelnie wypełnia kwadrat na przeciwprostokątnej o polu c². Jest to klasyczny dowód Henry’ego Perigala.
1. Przestaw trójkąty — odkryj zależność
Możesz też ręcznie przesuwać suwak animacji. Trójkąty zachowują swoje kształty i rozmiary podczas przemieszczania.
9 + 16 = 25
Cztery jednakowe trójkąty otaczają środkowy kwadrat o boku c. Pozostała powierzchnia ma pole c².
Przeciwprostokątna: c = 5
Pole dużego kwadratu: (a + b)²2. Dlaczego to jest dowód?
W obu układach zewnętrzny kwadrat ma bok a + b i zawiera dokładnie te same cztery trójkąty prostokątne. Każdy ma pole ab/2. Po odjęciu pól trójkątów od pola dużego kwadratu otrzymujemy więc w obu przypadkach tę samą powierzchnię:
Twierdzenie działa dla każdego trójkąta prostokątnego.
2. Rozcinanie i przekładanie — dowód z równości pól
Na rysunku z dwoma małymi kwadratami i jednym dużym przechodzimy przez te same pola: P₁ + P₂ = P₃. Aby przemieszczenie było ściśle poprawne, rozcinamy duży kwadrat o boku a+b na cztery przystające trójkąty i pozostałe kwadraty, a następnie przekładamy tylko trójkąty. Dzięki temu żadna część nie zmienia pola.
Krok 1: dwa kwadraty
9 + 16 = 25
Dlaczego dowód jest poprawny? W obu ustawieniach zewnętrzny kwadrat ma pole (a+b)², a cztery przystające trójkąty mają łącznie pole 2ab. Zatem pola, które pozostają niezajęte, są równe. To nie jest iluzja graficzna, lecz zachowanie pola przy przesuwaniu i obracaniu figur.
3. Sprawdź na własnych liczbach
Przesuń suwaki a i b w wybranej zakładce. Wszystkie figury dopasują się do nowych długości boków. Następnie uruchom ponownie animację i sprawdź, czy wolne pola nadal są równe.
Ważne: zielone i żółte pola to pola kwadratów, a nie pola trójkątów. Właśnie dlatego porównujemy a², b² i c².